Внук прописан с бабушкой.Квартира приватизирована на 2-х. человек.Какой налог заплатит внук в случаи смерти бабушки?

Лица, зарегистрированные с наследодателем на одной жилой площади на момент
смерти наследодателя, освобождаются от налога на наследство. Так же на них не
распространяется 6 месячный срок принятия наследства, т. к. с момента смерти наследодателя они фактически вступают в наследство сразу, пользуясь имуществом.

ничего ему платить не придется

Да, вопрос не понятен? Но возможно вы спрашиваете, если внук будет вступать в наследство и налог при вступлении в наследство? Если так, то с1 января 2006 года наследники любой очереди освобождаются от уплаты налога с наследуемого имущества. -п. 18ст. 218 НК РФ. А вот за оформление документов внук обязан заплатить.

Налог на наследство отменен с 01.01.2006 года для наследников всех очередей.
Обращаю ваше внимание, что внуки являются наследниками к имуществу бабушек и дедушек только по праву представления, т. е. в случаях, когда их родители (дети бабушек и дедушек) умерли до открытия наследства - ст. 1142 ГК РФ.
Поэтому, при наличии наследников первой очереди (детей бабушки) , а также при условии отсутствия завещания на имя внука - внук к наследованию призываться не будет.
Удачи!

Он же там прописан, за что платить?

Внук является единственным наследником по праву представления, налог на наследство отменен.

Вопрос пока неясен. Является ли внук наследником? И если является, по закону или по завещанию?

значит он будет наследником по праву представления, т. е. будет наследовать вместо своего отца. (ст. 1142 ГК РФ) .
налог на наследство отменен, так что он заплатит только за оформление документов у нотариуса + стоимость справок для наследственного дела.
на данный момент это тысяч 5-6 РУБЛЕЙ.