Вопрос! Нашла квартиру цена ниже рыночной.

Дааа. Не оскудела еще земля наша Остапами Бендерами.

Оформите фиктивный брак. И по постановке Вас на регистрационный учёт в этой квартире пусть бывший собственник с него снимается. Уже после этого отдавайте основную сумму. До этого можно дать небольшой задаток. Это самый быстрый вариант.

Для того, что бы внести аванс, продавец должен иметь право на отчуждение.
Право на отчуждение имеет только собственник. На данный момент, собственником является муниципалитет. То есть продавец не имеет права на отчуждение.

Не такие уж большие нужны деньги, чтобы приватизировать квартиру, в данный момент наниматель этой квартиры не собственник, и не имеет право брать ни аванс, не заключать с потенциальными покупателями какие-либо договора.

Вы вносите аванс под некий предварительный договор (гарантийное обязательство) , в котором кто-то берет у Вас деньги и обязуется в некий срок за некую сумму продать Вам некую квартиру? Эта квартира у него не в собственности, следовательно он не может давать обязательство ее продать, договор изначально не действительный. И любые обязательства по продаже чужого имущества, которое, по большому счету может и не перейти в его собственность- вообще ни о чем.
По своему профессиональному опыту могу сказать, что больше половины таких сделок кончается тем, что после приватизации цена поднимается как минимум на уровень рынка, а то и выше, потому что покупатель привязан деньгами, данными под приватизацию. Принудить к продаже Вы продавца не сможете, потому как договор (обязательство) мимо закона, деньги возвращать- через суд, если повезет, по три рубля в месяц, т. к. заработок у должника маленький.
Приватизация не так дорого стоит.. . какая беда продавца подорвала срочно приватизироваться и продаться. Полгода, уверяю Вас, не тот срок, чтобы существенно повлиять на Жилищный вопрос. Вполне может приватизироваться за минимальную цену за полный срок, ротом продать за нормальную цену. Причина спешки неясна.

Так можно сразу на Вас все оформить - на нового хозяина!! ! В чем проблема?

Возможно, но незаконно и очень рискованно.

Все действия прописывайте и заверяйте у нотариуса иначе никак! останетесь без денег и без квартиры