Даст ли согласие орган опеки и попечительства на продажу квартиры по доверенности ?

конечно могут
статья 182. Представительство

1. Сделка, совершенная одним лицом (представителем) от имени другого лица (представляемого) в силу полномочия, основанного на доверенности, указании закона либо акте уполномоченного на то государственного органа или органа местного самоуправления, непосредственно создает, изменяет и прекращает гражданские права и обязанности представляемого.

Приказ Минюста РФ от 01.07.2002 N 184
(ред. от 19.01.2005)
"Об утверждении Методических рекомендаций по порядку проведения государственной регистрации прав на недвижимое имущество и сделок с ним"
13. От имени физических лиц заявления о государственной регистрации могут подавать, в частности, законные представители (родители, усыновители, опекуны) несовершеннолетних в возрасте до 14 лет (статья 28 Кодекса) ; опекуны недееспособных граждан (статья 32 Кодекса) ; представители, действующие в силу полномочий, основанных на доверенности или договоре (статьи 182, 184 Кодекса) .

Указ Президиума ВС СССР от 25.06.1976
"Об утверждении Консульского устава СССР"
(утв. Законом СССР от 29.10.1976)

Статья 45

Консул совершает следующие нотариальные действия:
1) удостоверяет сделки (договоры, завещания, доверенности и др.) , кроме договоров об отчуждении и залоге жилых домов, находящихся в СССР;

Можно. Доверенность от обоих родителей. Опека поставит условия, их нужно будет выполнить. Возможно одновременная регистрация договора продажи старой квартиры и купли новой.

вам придется все это оформлять практически в одновременно.
ребенок скорее всего проживает с вами за границей.
по идее такая доверенность имеет место быть.

Нужно не ущемить права ребенка.

Но покупка квартиры по доверенности, уже означает снижение цены, существенно.

А так нужно смотреть где квартира и к какому из органов опеки она относится