В собственности есть квартира и досталась 1-комнотная квартира по завещанию, должна ли я платить как за второе жилье??

Вы как собственник несете бремя содержания своей собственности, а потому Ваши расходы на Ваше имущество просто должны быть.

От уплаты НДФЛ, возможно, освобождены по ст. 217 НК РФ, если квартира получена в наследство от близких родственников. Но надо подать декларацию и приложить доказательства родства (копии свидетельств о рождении) . Коммунальные платежи уплачиваете в полном размере. Если не будете жить, то за водоснабжение, вывоз мусора можете производить перерасчет (при отсутствии счетчиков воды) . Отопление и техобслуживание не зависят от факта проживания или непроживания. Налог на имущество по извещению ИФНС. По ГК РФ собственник несет бремя содержания имущества.

Безусловно. Почему нет и налоги на имущество и коммунальные услуги?

Плата за услуги по содержанию и ремонту жилых помещений, с граждан - собственников жилых помещений, имеющих более одного жилого помещения или не зарегистрированных в нем взимается исходя из фактических расходов на оказание услуг и выполнение работ по управлению многоквартирным домом, по содержанию и текущему ремонту общего имущества многоквартирного дома (фактическая стоимость) . Для оплаты отопления таких помещений также есть тарифы фактической стоимости.
Если в жилом помещении никто не зарегистрирован, то такие платежи как за воду (холодная, горячая) , водотведение, газ не начисляются.

Если во второй квартире никто не прописан, а Вы являетесь только собственником то Вам придется платить: налог на недвижимость (1 раз в год и сумма незначительная около 100 рублей) , оплата отопления. За газ, свет и воду платить не придется.

ДА.... по закону... Сночало нолог чтоб её забрать по завещанию.. . а потом обычная ежемесечная кварплата..