могу ли я написать расписку или какую нибудь другую бумагу

Разрешаешь жить кому мужу, гражданскому мужу? Если квартира официально твоя (приватизированная, куплена до брака с ним) , то банк не имеет право делать с ней что нибудь, это не его, я твоя собственность. А так можешь временно зарегистрировать его. А если на ребёнка, то его отец, если он не лишён родительских прав, то же сможет проживать в месте с ним, даже без твоего согласия, и распоряжаться его долей в квартире от его имени, до совершеннолетия. Лучше всего сходить в юрид. консультацию и проконсультироваться там, сейчас очень много всяких лазеек в законе. А то можешь остаться и без квартиры.

не понятен вопрос

вы как собственник можете зарегистрировать либо постоянно, либо на определенный срок. договорные сроки расторгаются только по решению суда.

Не надо ничего писать. Сходите в паспортный стол и зарегистрируйте его у себя временно на 1 год. А там по ситуации.

Кто вообще этот человек вам? Еще с женой.

договор аренды нужно (по крайней мере в Украине) регестрировать в налоговой, Вы можете не оформлять квартиру а составить договор и зарегестрировать его нотариально, право собственности при этом не наступает но стороны берут на себя обязательства, какие - определитесь сами

не совсем понял вопрос.. .
но думаю что можно написать расписку, в которой укажите что имеет право проживать, а после погашения задолженности и прописаться в данную квартиру, а для большей надежности заверить у нотариуса

а можно и временную прописку

Если правильно поняла: пропишите муж, со временем может претендовать на долю через суд. Собственник вы и ребенок основной наследник. Только все это зачем? Нас иногда предают