Может ли аннулироваться первое завещание на квартиру, если оформить на нее сейчас договор дарения ?

Иметь он уже ничего не будет, т. к. квартира будет принадлежать вам по факту дарения и завещание не будет иметь силы.
Но лучше заехать к тому нотариусу и отменить завещание, чтобы судов было поменьше.

Не будет действовать. Завещание вступает в силу только после смерти наследодателя. Если на этот момент в его собственности квартира не находилась, т. е. была продана, подарена и т. п. , то и наследовать нечего.

Нет не будет, т. к. предметом завещания завещатель располрдился при жизни и это имущество будет исключено из завещания, если завещатель оставит такое завешание в силе, т. к в завещании могут быть указаны и другие предметы, денежные средства и пр.
Если в завещании указана ТОЛЬКО квартира, то завешщание становится недействительным.

Дарственную оформляет собственник т. е. ваш отец. Если он оформит на вас дарственную, то квартира будет принадлежать вам (вы станете собственником) , соответственно завещать её ваш отец никому не сможет. Хоть для избежания путанецы былобы разумней изменить завещание.

Завещание начинает действовать только после смерти. При жизни отец вам может подарить квартиру, И родственник пролетает, как фанера над Парижем.

в этом случае одного вашего хотения мало, очень важен тот факт, что отец горит желанием подарить вам эту квартиру, в трезвом ли он уме и твердой памяти. Если все так, то в вашем случае надо пойти к нотариусу со всеми документами на квартиру и составить договор дарения. , потом зарегистрировать его в Росеестре.

При оформлении дарственной завещание аннулируется

советую отменить завещание перед дарением во избежание судебных исков и давления от обделенного родственника (он сейчас может и не узнать об этом, т. к. его присутствие не требуется) и провести сделку у этого же нотариуса.

да