Должен ли пенсионер платить налог на квартиру?

Нет, пока не должен (законодательство грозятся изменить) . Ваша мама права.
Необходимо обратиться (предоставив пенсионное удостоверение) в налоговую по месту жительства, написать заявление.

Да, Ваша мама права. Пенсионеры освобождены от уплаты налога на недвижимость (но не на землю и не на транспорт) . Только нужно написать в своём районном налоговом отделении заявление, приложив к нему ксерокопию паспорта и пенсионного свидетельства.

В соответствии с п. 2 ст. 4 закона "О налогах на имущество физических лиц" от 09.12.1991 № 2003-1 "Налог на строения, помещения и сооружения не уплачивается: пенсионерами, получающими пенсии, назначаемые в порядке, установленном пенсионным законодательством Российской Федерации... "
При этом в п. 1 ст. 5 того же закона сказано "...Лица, имеющие право на льготы, указанные в статье 4 настоящего Закона, самостоятельно представляют необходимые документы в налоговые органы".
Иными словами, Ваша мама абсолютно права - она имеет право не уплачивать налог на имущество (в данном случае - квартиру) , так как является пенсионеркой. Однако для того, чтобы воспользоваться своим правом, она должна о своей льготе заявить, т. е. предоставить в налоговую инспекцию по месту учета заявление и копии документов, подтверждающих право на льготу (в нашей инспекции это пенсионное удостоверение).

Да хер его знает
С одной стороны - всю жизнь трудился за смешную зарплату на благо.. . РОДИНЫ
С другой стороны - где Она, Родина?