приватизирована квартира на мать и сына сын погиб он был в разводе, остался ребенок. реальна его прописка в долю квар-ры

Конечно, реальна. Ребенок - наследник 1й очереди, причем обязательный. Подавайте заявление нотариусу. Доля отца (или ее часть) отойдет ему. Отдельно от родителей он сможет прописаться в 14 лет. До этого времени доля никуда не денется, продать ее будет невозможно

жена и ребенок являются наследниками доли умершего
то есть и у ребенка и у матери будет своя доля
и они смогут прописаться в квартире

Для регистрации в квартире нужно согласие всех собственников, если оно есть, то никаких проблем. И зарегистировать в долю нельзя, регистрируется по месту проживания, т. е. во всей квартире.

По закону (ГК часть 3, раздел 5 Наследственное право) сыну положена часть от части отца, так что зарегистроваться он по идеи имеет право.

Бывшая жена без согласия бабки зарегистрироваться не сможет.

Речь идет не о прописке, а о регистрации по месту проживания. По действующему законодательству дети регистрируются по месту регистрации родителей. Поэтому без согласия матери ребенка в квартиру не зарегистрировать (да это и не нужно, т. к. не порождает права на жилую площадь)
Если квартира, о которой идет речь была приватизирована на мать и её сына, ребенок является наследником первой очереди на долю квартиры сына (вместе с матерью погибшего) Таким образом, ребенок по истечении шести месяцев станет наследником 1/4 части этой квартиры. 3\4 - это доля матери.

Ребенок вообще является одним из наследников первой очереди для этого не нужно завещание, поэтому после того как вступит в наследство его не только прописать можно будет, он будет явятся собственником доли в квартире со всеми вытекающими

Статья 1142. Наследники первой очереди

1. Наследниками первой очереди по закону являются дети, супруг и родители наследодателя.
2. Внуки наследодателя и их потомки наследуют по праву представления.

Если собственником является мать погибшего и на момент смерти брак был расторгнут бывшая жена ни на что претендовать не может. А ребенок имеет право на наследство на долю отца. Вступайте в наследство.