Может ли мать проживать с ребенком в квартире где он прописан (Мать прописана в другом месте ) И что для этого надо

нет и даже суд Вас не вселит. либо вы живете с ребенком на своей жил. площади либо прописываете у себя ( дело в том что вы также как и муж обязаны платить за коммунальные услуги где прописан ребенок)
а вообще читайте внимательно 4 пункт!! !
Если у бывшего члена семьи собственника жилого помещения отсутствуют основания приобретения или осуществления права пользования иным жилым помещением, а также если имущественное положение бывшего члена семьи собственника жилого помещения и другие заслуживающие внимания обстоятельства не позволяют ему обеспечить себя иным жилым помещением, право пользования жилым помещением, принадлежащим указанному собственнику, может быть сохранено за бывшим членом его семьи на определенный срок на основании решения суда. При этом суд вправе обязать собственника жилого помещения обеспечить иным жилым помещением бывшего супруга и других членов его семьи, в пользу которых собственник исполняет алиментные обязательства, по их требованию.
даже если вы подадите в суд вы проиграете!! ! потому что жилье у вас есть!!!

Ооо.. это давняя мечта баб, влезть с помощью ребёнка в чужое жильё :-) Нет, не может. "Местом жительства детей признаётся место жительства его родителей" Но, не на оборот. А потому ты в пролёте.. .
Даже больше. Ребёнка можно снять с учёта к матери на основании решения суда о проживании ребёнка с матерью.

А для чего рожали, ради жил площади, ради алиментов? (((