Если квартира оформлена по "дарственной" ,может ли "дарственник" продать ее?

Извините, а ответ Вам действительно нужен, или специально все запутываете?
"Дарственная" - это хотя и употребляемый, но совершенно устарелый термин, но понятно, что имеется ввиду Договор дарения.
В этом Договоре ДВЕ стороны Даритель и Одаряемый.
Но для кого же из них Вы изобрели название "дарственник"?
А ХОЗЯЙКА квартиры - это кто? Предыдущая собственница (даритель) , или новая собственница (одаряемая) ?
Попробуйте еще раз изложить вопрос, но без ребусов.

Если у одаряемого уже имеется свидетельство о регистрации права собственности, он может распорядиться ею по своему усмотрению

Если договор дарения был зарегистрирован в рег. палате, то может - одаряемый с момента регистрации - юридический собственник квартиры.

"Дарственник" Это кто? Тот кто подарил? Или тот кого одарили?

Называется не дарственник, а одаряемый. Если он оформит на себя эту квартиру, то может распоряжаться ею по своему усмотрению. Но если возникнет проблема со стариком, то суд может признать незаконность дарственной и дальнейших действий с ее жильем.

Не "дарственник", а одаряемый, то есть, кому подарили. При ее регистрации как собственности, он может с ней делать что захочет

"Дарственник" Это кто? Тот кто подарил? Или тот кого одарили? " - если даритель, он потерял право собственности. ЕНсли одаряемый - он собственник и никого спрашивать не должОн.

А почему нет? Вот только странно, почему хозяйка подарила её, а сама уехала в интернат?

С момента, когда одаряемый получил св-во о государственной регистрации права собственности на квартиру, он вправе её продавать, дарить, менять, закладывать, вкладывать в уставный капитал ООО.. . Словом - делать с ней всё, что не запрещает закон.

Может только ему надо отдать налоги по НДФЛ с получения в дар и с продажи ( если не прямой родственник и владел менее 3х- лет)

После того, как квартира в установленном законом порядке оформлена по дарственной - собственником квартиры становится одаряемый, и следовательно, он вправе распоряжаться квартирой по своему усмотрению. Поэтому мне не совсем ясно - кто такая хозяйка квартиры - если она подарила квартиру - то она больше не собственник, и помешать процессу продажи квартиры просто не может.

конечно, почему нет

Конечно может