Сделка мены квартир была удостоверена нотариально 12 лет. Обмен производился без доплаты.

Даже если доплата на самом деле была, а документов подтверждающих оплату нет, суд не примет во внимание никакаких свидетельских показаний, а если примет, то суд высшей инстанции отменит неправомерное решение, если будет кассация и тогда снова будет рассматривать дело суд в другом составе, но судья не станет выносить решение, противоречащее закону, так как понимает, что за это попросят покинуть тёплое местечко.

суд верит документам.

денежные обязательства должны быть подтверждены только письменными доказательствами
свидетели тут не нужны

Суд даже слушать этого бреда не будет

суд не верит, а постановляет, и "верит" может не совпадать с "постановляет" , есть очевидные вещи, которым недостаточно доказательств, и есть постановления, вынесенные на основе доказательств, которые в природе существовать не могут, это ужасно, но это так

в договоре то должно быть написано, что по соглашению сторон квартиры имеют равную цену, нотариус должен был это указать в тексте договора

если же этого не указано, в соответствии с законом, квартиры на момент сделки признавались равными по цене

каким образом противная сторона, в отсутствие расписки, будет доказывать факт передачи денег в счет доплаты, а так же её размер - непонятно

почему именно эта сумма, а ни какая-нибудь другая

Никому суд не верит, кроме документального подтверждения.

Суд поверит тем документам, которые будут предоставлены.