Оформление квартиры(юристы помогите)

Как следует понимать :"бабушка отписала его долю на меня? "

так вас никто не заставляет фамилию менять. Раз это вызывает неудобства, оставляйте свою.

Сначала бабушка вступает в наследство на долю своего супруга умершего.
Потом . после получения свид. на наследства и рег. своего права собственности- по договору дарения дарит вам эту 1/2 доли.
Бабушка не может "отписпть" Вам то. что ей не принадлежит- долю умершего супруга. она может отказаться от наследства, но тогда др. наследники первой очереди- дети умершего могут и будут наследовать, а не Вы.
И ХЗ почему бабушка ваще единств. наследник- что дед на нее завещание написал?
Есть ли дети у умершего? Это ведь кто-то из ваших родителей м. б. И дети умершего вместе с супругой (бабушклй) - наследники первой очереди, раз нет завещания. Они то наследство принимают?
Идите к нотариусу уже со справкой о смерти дедушки. пишите заявление об открытии наследства, заявл. кто наследники первой очереди. кто принимает. кто отказывается.
бабушка счас может вам "отписать"- т. е. по договору дарения подарить или завещать только то. что у нее есть на правах собственности в н. в. - т. е. свою собственную долю в собственности.

придете вступать в наследство и принесете свидетельство о вступлении в брак, но помимо этого необходим ещё и новый паспорт

советую с этим вопросом обратиться к самому нотариусу, выберите 1 час времени, а то Вам тут насоветуем