какие права имеет мать после смерти сына на наследство1

Квартира деда была ведомственная или государственная? (то есть не принадлежала ему, он был только прописан) В этом случае квартира отойдёт государству/ведомству.
Наследством можно заниматься когда угодно, срока давности для этого нет. Идите к нотариусу и оформляйте

Вы умеете логически излагать мысли? Бабушка не знала о его смерти, или она не знала о своем праве на наследство? Квартира была приватизирована? На кого? Безразлично, что он получил. Права начинаются там, где прошла госрегистрация. Он мог ее приватизировать еще на кого-то. Если бабушка не знала о смерти, то можно продлить срок на вступление в наследство по уважительной причине. Если она о смерти знала, но не знала о своих правах, то это все бесполезно. Все надо решать через суд.

В срок 6 месяцев после смерти наследодателя претендующие на наследство наследники должны обратиться к уполномоченному нотариусу (адрес узнать в нотариальной палате) с заявлением. Нотариус открывает наследственное дело, проводит установленные законом действия и не ранее, чем через 6 месяцев от дня смерти выдает Свидетельство о праве на наследство, на основании которого оформляется право собственности. Обделенные наследники, а так-же пропустившие 6-ти месячный срок по уважительной причине, вправе обратиться в суд, срок исковой давности-три года, в некоторых случаях-10 лет, и по вновь открывшимся особым обстоятельства-бессрочно.

прабабушка должна подавать заявление нотариусу о правах на наследство
не надо никакого суда

В смысле - что вам делать? Что вы хотите то?
Прабабушка хочет наследство получить?