что нужно чтобы перерасчетать задолженность по квартире за 10 лет?

В течение месяца со дня вашего возвращения вы должны представить заявление о перерасчете и документы, подтверждающие ваше отсутствие в квартире ( это может быть, к примеру, свидетельство о регистрации по месту пребывания или письменное подтверждение ваших соседей о вашем отсутствии, билеты, справка с места работыи т. д.) . Но перерасчет могут сделать только за период, не превышющий 3-х лет до момента вашего обращения. Задолженность за оствшиеся 7 лет в принудительном порядке с вас взыскать уже не смогут, так как прошел срок исковой давности.

Нужны справки из другого города, что вы там были временно зарегистрированы. Если не были зарегистрированы, то справки из отделов кодров, что там работали.

Перерасчет можно сделать не более, чем 3 года, потому что заявят в ЕИРЦ о сроке исковой давности, если за большее количество лет попытаетесь. Но и задолженность за другие года Вы не обязаны оплачивать, если тоже заявите о применении срока исковой давности. Должны подтвердить или копией свидетельства о регистрации по месту пребывания или иные подтверждающие (см Постановление Правиельства РФ № 307)

Ничего не нужно пересчитывать. Попросите чтобы на вас подали исковое заявление.
В суде заявите о пропуске срока исковой давности в 3 года.
Если вы ничего не платили последние 3 года в иске откажут полностью.
Если вернулись и начали платить, то эти платежи будут зачтены в счёт долга, образовавшегося раньше и иск будет удовлетворён частично в размере начисленного за три года до подачи иска.

и как его не выселили?

А фактически в квартире, кто был прописан и сколько человек проживало?