Можно ли продать жильё с тремя несовершеннолетними детьми и купить новое по ипотеке?

Да, можно.
Сначала оформляете ипотеку, потом подбираете квартиру, потом представляете в опеку доказательства, что улучшаете жилищные условия.
За подробностями идите к грамотным реэлтерам. Они знают, это их работа.

Продать жильё вместе с детьми? Или я что-то не то поняла?

Если дети совладельцы - то для продажи необходимо согласие органов опеки. Если не совладельцы, а просто зарегистрированы, ничьего дополнительного согласия не нужно - берите ипотеку и покупайте квартиру (дом)

Если хотите добавлять деньги к деньгам с продажи квартиры, то так не получится. Есть другие варианты, надеюсь у Вас есть личные сбережения... У Вас замечательный инспектор, цитирую: "...или подарили другое взамен и положили деньги на их счёт... "- это не опека, а подарок судьбы. Я не шучу.
Ну а так тут ситуацию разжевывать надо более подробно. Естественно ни один банк не будет в восторге от несовершеннолетних собственников в купленной квартире. Про статьи забудьте, ипотека от банка, это то же самое что обычный физик дает кредит другому физику. Вот Вы мне не хотите дать денег в долг? Не хотите. И никакой закон Вас не обяжет дать мне деньги, пока сами не захотите... Так понятно?

можно, если интересы детей не будут ущемлены, то опека даст разрешения

а опека Вам разрешение дает на эту продажу?

Без согласия опеки продать не сможете.

если они не являются собственниками то пожалуйста, кто вам запретит