Обязанности УК. Должна ли УК производить ремонт изгороди около многоквартирного дома?

Все зависит от того, что конкретно прописано в договоре Вашего дома с этой самой управляющей компанией по каждому виду выполняемых ею работ.

Только если такие изгороди предусмотрены проектом. Как правило, нет. Это отсебятина жильцов. К благоустройству придомовой территори относятся детские площадки, скамейки и урны у подъездов, ограда газонов, если она есть, дорожки, спортплощадки

Обязанности УК:... .
ж) содержание и уход за элементами озеленения и благоустройства, а также иными предназначенными для обслуживания, эксплуатации и благоустройства этого многоквартирного дома объектами, расположенными на земельном участке, входящем в состав общего имущества;

з) текущий и капитальный ремонт, подготовку к сезонной эксплуатации и содержание общего имущества, указанного в подпунктах "а" - "д" пункта 2 настоящих Правил, а также элементов благоустройства и иных предназначенных для обслуживания, эксплуатации и благоустройства этого многоквартирного дома объектов, расположенных на земельном участке, входящем в состав общего имущества.
содержание и уход за элементами озеленения и благоустройства;

Сложный вопрос, участок под домом может быть и не образован и неизвестно, входит ли изгородь в зону обслуживания или нет...

Вам уже дали ответы Иноходец и Константин Трусевич. Возникает вопрос – земля возле МКД оформлена в собственность? Ели нет, то это обязанность администрации вашего поселения, согласно ФЗ №131 ст. 14. Вопросы местного значения поселения Цитата -3) владение, пользование и распоряжение имуществом, находящимся в муниципальной собственности поселения; Также можете не платить за уборку территори возле дома, которая наверно входит в тариф «Содержания жилья и текущий ремонт» .