вопрос о праве наследства (см. внутри)

Наследование либо по завещанию, либо по закону. Наследниками первой очереди по закону явл. супруг умершего, его родители, его дети.
Так что любой чел, включая гражданина из вашего вопроса, может при жизни составить завещание, в кот. выразить свою волю. Может кому угодно завещать.
Если завещания не будет, то см. выше- круг наследников первой очереди.
Полагаю, что когда мать умерла, было обращение к нотариусу и было принято наследство ее сыном в установл. законом порядке? Принадлежала ли квартира, о кот. речь в вопросе, на правах собственности умершей матери? И теперь эта квартира принадлежит на правах собственности ее сыну на основании свидетельства о праве на наследство?

"мать на внука оформить наследство" и не могла.
При жизни она могла написать завещание (нотар. заверенное) на кого угодно, и на одного из внуков в том числе.
Если завещания не было, то см. круг наследников первой очереди.
Оформлением занимается нотариус.
Нотариус принимает заявления наследников об открытии наследственного дела, определяет круг наследников и наследств. массу, через 6 мес. с даты открытия наследства оформляет свидетельство о праве на наследство и выдает его наследникам.

В своем вопросе Вы не указали самого главного - кто является собственником дома.
Кто где прописан, где и с кем где проживает фактически, не имеет абсолютно никакого значения

После смерти сына при отсутствии завещания наследники - жена, дети наследодателя !

Сын тоже готовится умереть?

Совет:
Если не хватает места в основной строке вопроса для выражения всех мыслей, чтобы вопрос был полным, видимым всем сразу, понятным и содержал всю его суть, нажимаете кнопочку "Спрашивайте! " вверху страницы на зелёном фоне, затем заполняете все поля и выкладываете грамотно оформленный вопрос со всеми дополнениями и комментариями.

Регистрация (прописка) и право собственности есть разные вещи. Если сын женится, то после его смерти наследниками первой очереди являются его супруга, дети и родители в равных долях. Унаследовать они могут только то имущество, которое находилось в СОБСТВЕННОСТИ наследодателя на момент его смерти. Прописка (регистрация) по наследству не передается и возникновения права собственности на занимаемое жилое помещение НЕ ВЛЕЧЕТ.
Добавлю: если мать переживет сына, то ее дом унаследуют только внуки - по праву представления.
Если сын переживает мать, то он наследует дом, а после его смерти - супруга и дети в равных долях. Понятно объяснила?

После сына будут наследовать в равных долях его СУПРУГА, дети, родители. Факт прописки супруги на это обстоятельство не влияет, а влияет факт регистрации брака в органах ЗАГСа.
Сын вправе написать завещание на детей, в этом случае все унаследуют они. Но если к моменту смерти сына его законная жена будет нетрудоспособна ( пенсионер, инвалид) , то она будет иметь право на обязательную долю в наследстве, нзависимо от содержания завещания. Право на обязательную долю удовлетворяется в первую очередь за счет имущества оставшегося незавещанным, а в случае его недостаточности-за счет завещанного имущества.

Если Сын женится, то его жена будет входить в круг наследников первой очереди.. .
Кто-где-когда зарегистрирован и проживал значения не имеет!!!