В квартире стала мокнуть стена с внутренней стороны, раньше такого не было. Обязанны ли в ЖКХ устранить это?

А если в тариф не заложено, то можно прнять решение о проведении таких работ на общем собрании. .
Хотя. . для начала всё-же лучше понять причину намокания.
Из текста вопроса непонятно, о какой именно стене речь.
Если стена внутренняя (ну или межкомнатная.. . не знаю как правильно назвать) - то могут течь трубы где-нибудь в перекрытии.. . В данном случае пусть срочно обследуют и бегом меняют!
Если она "соприкасается " с улицей, то причина может быть:
а) в промерзании межпанельных швов - в таком случае нужно в обслуживающую компанию напрвить заявку на ремонт швов (по технологии он производится в летний период)
б) в излишней герметичности помещения (когда установлены пластиковые окна, хорошие входные двери, не работает вентиляция и редкое проветривание помещения) - вентиляцию конечно надо восстановить, но это делу мало поможет - приток воздуха в квартиру должен быть!

смотря какая стена

Если данный вид работ заложен в тариф, то да, если в тарифе таких работ нет, а по условиям договора управления риски на подобные работы не заложены, то Вы сами производите заделку.

Они много чего и кому обязаны, только не факт что это будет работать на практике, нужно доказать что это происходит по их вине, а не по вашей, доводов у них будет придостаточно. Так что дерзайте.