С кем должен быть прописан ребенок (3года)?

Ребенок должен проживать (быть зарегистрированным) с одним из родителей, в вашем случае при разводе суд определил с кем будет проживать ребенок?
Если нет, то соглашению между родителями.
при решении вопроса с кем будет проживать несовершеннолетний ребенок (дети) , обязан учитывать мнение ребенка достигшего возраста 10 лет (статья 57 СК РФ) .

Соглашение о детях может быть составлено как до расторжения брака, так и во время бракоразводного процесса. соглашение не обличенное в форму официального документа должно быть отображено в материалах дела (в протоколе заседания и в итоговом решении суда по иску) . Согласие каждого из супругов следует обязательно отразить в протаколе заседания и удостоверить подписью обоих супругов.

Соглашение имеет срок действия. соглашение о проживании ребенка прекращает свое действие по достижению ребенком возраста совершеннолетия (18 лет) , а так же при достижении полной дееспособности ранее 18 лет. прекрашение действия соглашения "де-факто" возможно, если ребенок пожелает проживать с одним из родителей вопреки соглашению, и родители согласятся с его мнением.

Ребенок может быть прописан у одного из родителей. без разницы. Обычно с пропиской ребенка решают свои жилищные проблемы.

Вы, как законный представитель несовершеннолетнего, даете письменное согласие на регистрацию (прописку) ребенка по месту регистрации (прописки) матери ребенка.

А в чем проблема?

Жена может выписать ребенка только при условии, что она не ухудшит тем самым условия его проживания. С вашей стороны это может стать основанием для судебного разбирательства. Опять же, если жена не захочет выписывать ребенка, Вы не сможете ей в этом припятствовать.

без разницы

без разницы. мой сын прописан у отца, а мы тоже в разводе. Вообще странно её желание.

Без разницы.... я бы не стала выписывать ребенка из вашей квартиры....

главное что снимая с регистрации в одном месте, его нужно где-то в другом месте зарегистрировать (прописки сейчас не существует)