Может ли риэлтор подать в суд после истечения договора

Вы не понимаете даже, какой договор заключили.
Договором о намерении купить квартиру м. б. предварит. договор между собственником жилого помещения и желающим купить, основным предметом этого договора явл. обязательства сторон в будущем заключить договор купли-продажи, на условиях и в срок, согласованных предварит. договором.
И м. б. заключен договор с риэлтором на оказание неких услуг, с перечнем услуг, их стоимостью, сроками оказания услуг, сроком действия договора, порядком и способами расчета по договору и пр. .
А м. б. оба договора вы заключили.
Идите с договором (и) и рассказом о ситуации к юристу на очную консультацию.

Мало информации.
Право на обращение в суд гарантированно Конституцией РФ.
Раз какие-то издержки понёс продавец, то продавцу дорога в суд, а у тебя с продавцом нет договорных отношений.

Для начала уточните: какие убытки понес продавец?

Продавец квартиры мог в это время получать справки из БТИ за деньги ( ускоренные сроки - утроенные деньги). . Пусть представит документально какие документы и за какие деньги были собраны продавцом в свете продажи квартиры вам. . Придется оплатить. . Вообще то задаток или аванс дается на эти цели покупателем, чтобы продавец, от которого отвернулся покупатель в дураках не остался со своими расходами по сбору документов..

Если риэлтор не исполнил свои обязанности в установленном в договоре сроке, то какие к вам могут быть судебные претензии?

На счет суда. Существует понятие "исковая давность".
По общему правилу в гражданском праве - 3 года, но для каждого спора она разная. (может быть и десять дней) .

По договору ...в обычном порядке договор должен быть автоматически расторгнут, если сделка не состоялась до указанного числа на следующий календарный день и агентство обязано возвратить аванс (если он был) , следовательно никаких обязательств перед ним у вас не должно быть.