Являюсь ли я наследником данной квартиры?

Нам неизвестны обстоятельства .
Вам надо к юристу на очную консультацию отправляться с доками и фактами.
Юрист опросит, разберется, что, когда как произошло, есть ли основания вам заявить, что вы приняли фактически наследство, какие доки и действия это подтверждают.
Вы ведь не обязаны знать о завещании - есть ли оно вообще и его содержание.
Даже если бабушка упоминала о некоем завещании, она могла и отменить его, и вообще нет завещания, или др. написать.
Поэтому в принципе вы могли действовать как наследник первой очереди по закону- фактич. принять наследство в срок, заботиться о его сохранности, вставить замок, делать ремонт, платить жилищ. и комм. платежи и т. д,. и обратиться в любое время к нотариусу за свидет. о праве на наследство, заявив, что вы приняли фактически.
Или, если нет доказательств факт. принятия наследства, по ст.:
ГК РФ Статья 1161. Приращение наследственных долей
можно вам принять. потмоу что наследник по завещанию не принял.
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34154/2f829fd453908571199875a444a298697dd20f0b/
надо смотреть факты и действовать, а не спать в одном ботинке.
Шансы может есть у вас.
-----------
Хотя может завещание действительно, и наследник по завещанию принял фактически или заявлением нотариусу (просто вы об этом не знаете), и уже наследники этого чела могут принять наследство по завещанию или по закону.

Идите к нотариусу, затем в суд. В суде доказывайте, что приняли наследство фактически, проживали в квартире, делали ремонт и тд.

Надо идти в суд.

не являетесь, наследодатель имеет своих наследников

А откуда Вам известно, что наследник не вступил вправо наследования? Вы очень торопитесь и потому Вы даете желаемое за действительное. Законом определено: наследство считается принятым с момента его открытия, пока не доказано другое. И у покойного также могут быть наследники, которые вправе претендовать и на эту квартиру. А потому сейчас для Вас крайне не выгодно устраивать суету из-за этого наследства. Необходимо выждать и посмотреть, как дальше будут развиваться события. А своей на сегодня пустой суетой, Вы можете привлечь не нужное внимание к этой квартире.

Долго чухались. Квартира уже могла уйти. К нотариусу и в суд

наследники теперь дети или родственники того, кому завещана квартира.

Дорогой! Ни про какого постороннего человека НЕ говори! Пусть нотариус сам скажет, если в архиве у себя найдет.. Ты НЕ знаешь.. Если он не открыл Наследственного дела - его и НЕТ !! См. ст. 1110-1115 !! И его наследники не при чем.. Сроки уже упущены .. Ст. 1154,1155 ГК Рф.. Но это для живого.. Ты, если живешь в этой квартире - фактически ее унаследовал.. ст. 1153 п. 2.. Плати исправно за коммуналку.. Можешь еще немного потянуть ( мой сосед 4 года тянул с комнатой, в потом без суда все оформил юридически).... А потом прийти к нотариусу.. Справку о смерти, на всякий Случай, возьми в ЗАГСе.. нотариус отправит зарос, в конце - концов, если у тебя не получится .. Если в наследника по завещанию дело все -таки упрется.. Главное, чтобы он не открыл наследственного дела - на этом его линия обрубается ..

Если наследник по завещанию действительно не обращался к нотариусу с заявлением о принятии наследства и не сделал никаких действий, свидетельствующих о его фактическом принятии, вы - наследник... Вам прямая дорога к нотариусу...

Статья 1161. Приращение наследственных долей

1. Если наследник не примет наследство, откажется от наследства, не указав при этом, что отказывается в пользу другого наследника (статья 1158), не будет иметь права наследовать или будет отстранен от наследования по основаниям, установленным статьей 1117 настоящего Кодекса, либо вследствие недействительности завещания, часть наследства, которая причиталась бы такому отпавшему наследнику, переходит к наследникам по закону, призванным к наследованию, пропорционально их наследственным долям.

Однако в случае, когда наследодатель завещал все имущество назначенным им наследникам, часть наследства, причитавшаяся наследнику, отказавшемуся от наследства или отпавшему по иным указанным основаниям, переходит к остальным наследникам по завещанию пропорционально их наследственным долям, если только завещанием не предусмотрено иное распределение этой части наследства.

Что за человек? Родственник?

Обращайтесь в суд... иначе государству уйдет квартира.