Наследство. 1/3 доля в квартире. В суд или?

Присвоить не можете.
Можете принять наследство.
Наслденики первой очереди по заакону- родители умершего. суруга. дети (внуки по праву представления).
Вполне возможно, что вас только двое наследников первой очереди по закону- вы и вдова вашего отца.
Вы с ней все примете, потом сделаете раздел имущества между наследниками соглашением.
Чтобы вам 1/3 доля в этой квартире досталась, а ей- др. имущество.
ГК РФ Статья 1165. Раздел наследства по соглашению между наследниками
http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34154/591a8b9766a57a64b8a363b27fed3ba703690d7b/
и
ГК РФ Статья 1168. Преимущественное право на неделимую вещь при разделе наследства
и ст. 1169 Преимущественное право на предметы обычной домашней обстановки и обихода при разделе наследства
и 1170 Компенсация несоразмерности получаемого наследственного имущества с наследственной долей
---------------
т. е или...
знчит не в суд,
а мозг включить и разделить наследство между наследниками соглашением с учетом вышеназв. ст. ГК РФ.

Наследницы вы и его жена поровну ( если нет других детей и родители отца умерли). То что он не платил не имеет никакого значения

Нет. Не можете ничего присвоить. Вы - наследница отца, но его жена и другие его дети точно такие же наследники его имущества. Платил он за квартиру или нет - значения не имеет.

Вы, как дочь, наследник первой очереди, можете наследовать, а мать нет.
Вдова имеет полное право наследовать наравне с вами.

Нельзя. То, что Вы 15 лет платили за отца и не подумали взыскать с него эти средства - не проблема его второй жены, а Ваша проблема.
Так что наследников у отца двое: Вы и вторая жена отца. Все его имущество (и доля в Вашей квартире и все, что есть его в той квартире) делятся между Вами в равных доля.
Ваша мать, как бывшая супруга, никакого отношения к наследству не имеет.

В течение полугода к нотариусу писать заявление.

у тебя типично неправильное понимание общей собственности. доли в общем имуещстве появляются только после его раздела и выдела доли, до этого это один объект, что записано в свид-ве о собств-ти.
Вася Хабибулин выше правильно написал, читай часть 3 ГК и правила общей собственности в части 1.

тебе надо отстаивать эту, законную позицию у нотариуса, т. к. он тоже, вероятно, в этом вопросе лох.