Как мне выписаться вместе с сыном из муниципальной квартиры с сыном без свидетельства о рождения?

Всё это, бесполезные хлопоты. Ребёнок однозначно получит свою долю при приватизации, вне зависимости, у кого из родителей он будет зарегистрирован (а если удастся "как-то" обнести его с долей, то по суду результат приватизации будет оспорен. Например, самим этим чадом, когда ему исполнится 18 лет.)
Далее - сама по себе регистрация не порождает никаких имущественных прав. Так что, совершенно не имеет значения, у кого этот ребёнок будет зарегистрирован. Долю собственности он же от этого не поимеет в квартире отца или матери.
Далее - продать квартиру (после приватизации) можно будет только с в случае, если ребёнку будет куплено отдельное жильё (что бы именно он там собственником был). Причём, не какой-то там сарай, а жильё, не хуже чем то, которое у него было.
Далее - если, всё же, удастся обойти Опеку, то опытный покупатель, сразу же просечёт, что квартира "не чистая" и от сделки откажется - ему-то зачем этот геморрой: в один распрекрасный день, сей повзрослевший мальчик отстоит своё право на долю в этой квартире, естественно, с правом там проживать и распоряжаться своей долей по своему усмотрению.

Сходите в ЗАГС и получите дубликат свидетельства о рождении сына.

Что вам мешает обратиться в ЗАГС и получить дубликат свидетельства о рождении?

Зачем вам сниматься с регистрации? Ребёнок обязан участвовать в приватизации если даже вы его снимете с регистрации. Вы тоже можете участвовать если не были её участником. Получите разрешение опеки на продажу доли ребёнка, предоставите ему жильё в своей другой квартире, деньги от продажи квартиры соразмерно доле ребёнка можете положить в банк или определив место жительства ребёнка с собой тратить на его воспитание и содержание. С бывшей взыщите алименты. Если вы не участвовали в приватизации, тогда не майтесь дурью, а все приватизируйте и продавайте. Только куда вы отца хотите пристроить?

Снимать сына с регистрации бесполезно- приватизировать всё равно будете и на него

Для снятия с регистрации Свидетельство о рождении ребёнка не нужно

а как вы опеке докажите что у ребенка будет жилье и свои метры ???пока ребенок не совершенолетний ни одна сделка по продаже не пройдет ...женский интерес понятен, договаривайтесь через нотариуса что вы отдадите часть денег сыну либо купиите равноценную сыну жилье ...