Квартиру в наследство пожилая женщина вместе с сыном оформили на него, на сына, даже не сказав ничего второму сыну. Это

Не совсем понятно что они оформили. Завещание??
Это может быть не совсем нормально, но абсолютно законно. Пожилая женщина могла завещать свою квартиру совершенно любому человеку или людям по своему усмотрению. Это кстати могли быть и не родственники. Так бывает и довольно часто. Причину знают только оба сына и их мама.

Это наследство или что?
Если пожилая женщина - живет и здравствует, она вправе распорядиться своим имуществом по собственному усмотрению. И не обязана никого ни спрашивать, ни уведомлять. Захотела при жизни подарить или завещать свою квартиру своему сыну - ее право.
Если речь идет о наследстве, после смерти наследодателя, то второй сын должен был не хлопать ушами, а идти к нотариусу и писать заявление о принятии наследства, если там не было завещания.

Да, мать вольна оставить квартиру кому угодно. Даже соседке или вообще незнакомому человеку. Второй сын получит по закону 1/4 квартиры, ели ко времени открытия наследства будет пенсионером или инвалидом.

Не сказали и не сказали, что в этом такого? Значит, такие отношения в семье. А собственник вправе делать всё, что ему заблагорассудится.

Собственник может делать, что хочет с своим имуществом. Второй не инвалид? Не пенсионер? Находился на иждевении у матери?

а кто умер-то? чье наследство?
второй сын дееспособный? ходил к нотариусу?

Даже если сыновей пятеро, то мама кому хочет, тому и завещает, хоть собачьему приюту

Видать кишки вынул второй сынок. Есть сынки наркоманы. ему дай долю, так он на героин всё спустит.

Несовершеннолетние или нетрудоспособные дети наследодателя, его нетрудоспособные супруг и родители, а также нетрудоспособные иждивенцы наследодателя, подлежащие призванию к наследованию на основании пунктов 1 и 2 статьи 1148 настоящего Кодекса, наследуют независимо от содержания завещания не менее половины доли, которая причиталась бы каждому из них при наследовании по закону (обязательная доля).
Если наследник, которого не указали в завещании как наследника на квартиру, не подпадает под указанные признаки, то наследовать долю квартиры он не может.

В вопросах наследства всегда есть недовольные. Каждый считает, что его обошли.

...это её желание... пока не доказано, что это было под влиянием заблуждения. либо по принуждению...

Не забывайте это социальная сеть и вопросы такого уровня надо решать с нотариусом инкогнито.

Если завещание оформили, так в этом случае, тот кто завещает, на кого хочет. Для этого нужно: свидетельство о смерти наследодателя; завещание; выписка из домовой книги и справка о месте жительства наследодателя (по возможности); документы ЗАГС, подтверждающие родство с наследодателем (если нет завещания); документы на наследуемую квартиру, подтверждающие право собственности наследодателя. У нас в городе есть юридическая контора, которая мне помогала в наследственных спорах. Обращаться к юристам надо тогда, когда есть что оспаривать. Потому что за их услуги надо платить. Адрес в интернете конторы, куда я обращался - http://tsoka.ru .