Кто оплачивает долги в съемной квартире?

Вы оплачиваете по договору месчную сумма найма и коммуналки. долги пусть агент с собственником закрывают. В любом случае вам пора бы уже покинуть сей квартиру, т. к. отключат энергию, горячую воду, заглушку в канализацию поставят.

оплачивать должен хозяин квартиры
а тебе я советую валить оттуда пока можешь свалить просто так

Обязанность оплачивать счета квартыры лежит на владельце в не зависимости от того кто в ней живёт. Лучше позвонить хозяину или уйти с квартиры пока тебя не заставили за всё платить.

Непонятно про какой вы телефон и почему звонят вам ( если про мобильный), а, если на стационарный, то как вы общаетесь, если вас 2 месяца нет в той квартире? Она не ваша--не заморачивайтесь на чужих долгах, если вы лично ничего не должны.

У вас есть заключенный договор найма со сроком действия договора.
Вот обязательства по этому договору Вы и должны исполнять- платить за наем и пр.. уст. в договором (комм. услуги ?).
При этом Вы можете и не жить в квартире.
Что за "съезжать" - непонятно.
Обязаны платить по договору весь срок действия договора.
Не будете платить, наймодатель может взыскать с Вас долг по дог. реш. суда с процентами.
Поэтому если речь о досрочном расторжении договора найма по инициативе нанимателя, то делать это в установл. порядке- соглашением сторон с предварител. надлеж. уведомлением наймодателя о намерении расторгнуть договор.
И квартиру надо передать по акту наймодателю или его доверенному лицу, и подписать акт об исполнении сторонами обязательств.

если по договору аренды вы кроме платежа по аренде так же оплачиваете за свой счет коммунальные услуги то при заезде нужно снять показания счетчиков составить акт показаний и платить за потребленные коммунальные услуги
Если все платежи входят в стоимость аренды то тогда пересылайте платежки арендодателю или его агенту пусть сами и разбираются, а в случае отключения услуг за не уплату вы можете не платить арендную плату так как не соблюдаются условия договора.

по закону имеешь право заплатить сам, но потом стребовать с хозяйки
но нужен ли тебе такой геморрой

Обычно по договору аренды коммунальные услуги вешаются на съёмщика.