Если я живу в квартире со своей семьёй, и прописан там. Имею ли я право завести животное (кошку или собаку) не спрашивая

нет конечно, это не красиво по отношению к близким, нужно посоветоваться и все обсудить с ними договориться.
Статьи нет.

если у хозяйки аллергия, то тут лучше учитывать человеческий фактор. а если просто с семьей, то можно, но с согласия близких

ну.. . если Вы не нарушаете покой ваших "однополчан" по квартире - то можете.. . (например, рыбки, хомячки)
в иных случаях они могут дойти и до милиции.. .
поэтому лучше заручиться письменным согласием. .
хотя это и не является документом - но является подтверждением добровольного согласия.
закона такого нет.
Удачи Вам

Только с согласия проживающих.

Гражданский кодекс РФ:
Статья 137. Животные
«К животным применяются общие правила об имуществе постольку, поскольку законом или иными правовыми актами не установлено иное.
При осуществлении прав не допускается жестокое обращение с животными, противоречащее принципам гуманности» .

Статья 209. Содержание права собственности
«1. Собственнику принадлежат права владения, пользования и распоряжения своим имуществом.
2. Собственник вправе по своему усмотрению совершать в отношении принадлежащего ему имущества любые действия, не противоречащие закону и иным правовым актам и не нарушающие права и охраняемые законом интересы других лиц, в том числе отчуждать свое имущество в собственность другим лицам, передавать им, оставаясь собственником, права владения, пользования и распоряжения имуществом, отдавать имущество в залог и обременять его другими способами, распоряжаться им иным образом» .

Таким образом, кошка – это такое же имущество, и, как и любое другое имущество оно может быть в вашей собственности. Поэтому завести кошку вы имеете право, вот только о правах других лиц забывать не стоит. Поэтому необходимо получить сгласие остальных проживающих в квартире.