Неофициальное трудоустройство, может быть поводом для продления договора спец найма ещё на 5 лет?

Из-за того что нет официального трудоустройства продлить договор спец найма могут, если не платишь за жилье, есть долги и др...
Постановлением Правительства РФ от 29.11.2018 № 1436 внесены изменения в типовой договор найма жилого помещения для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, лиц из числа детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей.
С 1 января 2019 года появляется возможность заключения договора специализированного найма жилого помещения на новый пятилетний срок неоднократно по решению органа исполнительной власти РФ в случае необходимости оказания нанимателю содействия в преодолении трудной жизненной ситуации (ранее такой договор можно было продлить только один раз).

Изменению подверглись основания для расторжения договора найма жилого помещения для детей-сирот по требованию наймодателя в судебном порядке. Теперь к таким основаниям относятся:
- неисполнение нанимателем и членами его семьи обязательств по договору;
- невнесение нанимателем платы за жилое помещение или ЖКУ в течение более одного года (ранее - более 6 месяцев) и отсутствие соглашения по погашению образовавшейся задолженности;
- разрушение или систематическое повреждение жилого помещения нанимателем или проживающими совместно с ним членами его семьи;
- систематическое нарушение прав и законных интересов соседей, которое делает невозможным совместное проживание в одном жилом помещении;
- использование жилого помещения не по назначению.
http://publication.pravo.gov.ru/Document/View/0001201812070009

совершенно не обязательно, так что лучше оформить договор соц. найма и приватизировать квартиру. Вот тогда сможете поступать с ней по своему желанию

Получается у Вас - использование жилого помещения не по назначению.
Могут вовсе забрать и предоставить эту квартиру нуждающимся сироте.

не живешь - не нуждаешься ..могут изъять и предоставить нуждающимся.. см. № 159-ФЗ " жилье сиротам"..