Юридический вопрос. Не знаю в какую тему написать и у кого спросить, на счёт квартиры.

повторю:
1. - если мать с отцом в разводе - за подаренную долю мать должна будет заплатить НДФЛ - 13% от стоимости доли. и пошлину на оформление дара в Росреестре.
2. - если не в разводе, или дар будет передан детям (сыну, дочери), то НДФЛ
не будет, придётся заплатить только пошлину на оформление дара в росреестре.
3. - Ваш договор оформляется нотариусом, за что идёт отдельная плата.

Совсем нет уверенности в цепочке дарения через дочь, что дочь потом передарит долю маме. Я бы постаралась исключить это событие из цепочки дарения. Но в любом случае запрошенные 50 тысяч не относятся к процедуре оформления дара. Это личный доход отца или дочери. Не в кассу государства.
Можно пойти двумя путями.
Можно уговорить отца подарить долю сыну. Это без налога, только пошлина 2 тысячи. При этом, если им нужны отступные в сумме 50 тысяч рублей, то пообещать их после оформления дара.
Если отец категорически против, то принять дар самой маме. Налог с дарения должна будет заплатить мама ПОСЛЕ принятия дара. Никакие переданные 50 тысяч в залог налога не пойдут: только от мамы на её имя будет оформлен налог на имущество. Заранее посчитайте предполагаемую сумму налога. Она равна 13% от кадастровой стоимости 1/2 квартиры. Кадастровую стоимость квартиры можно увидеть на сайте Росреестра (ввести кадастровый номер квартиры и посмотреть в открывшемся окне сумму), можно заказать свежёю выписку ЕГРН с кадастровой стоимостью.
Посмотрите, что вам выгоднее по сумме.

Маме ничего не нужно принимать в дар от бывшего мужа.
Никто не даст гарантий того, что подаренная доля дочери будет подарена матери обратно. дочь не будет отдавать долю, т. к. после смерти мамы по Закону она примет 1/2 от её 1/2 доли, и вам тоже 1/2 от доли мамы.

Есть квартира и у неё 2 собственника- мать и сын? Как они приобрели квартиру? А вы с сестрой им кем приходитесь?
Или собственники мать и её бывший муж?

Если они в разводе, то они чужие люди ( отец прав). Пусть мать лучше заплатит, чем на дочь ( а почему не на сына?).

Мать с отцом официально разведены, или просто не живут вместе?

Если ваши родители в разводе, то они по закону чужие люди.
Тогда оформление дарения дороже и за полученную в дар долю жилья мама будет платить налог 13 % от кадастровой стоимости.
Если он дарит близкому родственнику -то и оформление дешевле и налог платить не нужно.
По этому если отец подарит долю своей дочери - то налог платить не нужно.
Потом дочь подарит матери и снова платить не нужно.
По этому мама решать напрямую и с уплатой налога или через дочь и без налогов.

если мать с отцом в разводе - за подаренную долю мать должна будет заплатить НДФЛ - 13% от стоимости доли.

Пошлина нотариуса меньше для близких родственников. Но дарение - безусловная сделка. Подарить сестре с условием передарения матери нельзя по закону. Пусть лучше на мать сразу