как правильно в трудовой записать: принята на должность 1. руководителя АХО 2: начальника АХО

Запись в Трудовой книжке делаеться на основании Приказа о приеме на работу (ну или Протокола у назначаемых на должность руководителей)
Не бегите впереди паравоза: Штат. расписание-подписание ЛНА-Трудовой договор-Приказ о приеме на работу-на 5-й день запись в ТК.

мы-то откуда знаем, что у вас в штатном расписании написано.
но: не сокращайте, пишите "принята на должность начальника административно-хозяйственного отдела в (подразделение)

Если предприятием руководит руководитель, то отделом руководит начальник и наоборот.

вообще как в штатном расписании у вас написано так и нужно писать и отсебятины не надо, но если у вас штатного нет, и вы пляшете от того кто придет, того в штатное и вносим, то можно написать любой из предложенных вариантов

1. Принята на должность руководителя административно-хозяйственного отдела
или
2. Принята на должность начальника административно-хозяйственного отдела

Ирина! Всегда держите под рукой штатное расписание и не отступайте от него ни на шаг!
Как там написано, так и пишите. Отдел кадров - это отдел-исполнитель. Есть бумажка (т. е. документ) ОК готовит приказ. Нет документа - нет приказа. Это главный постулат ОК. По крайней мере для меня. Конечно приходится следить и кому-то напоминать, что нужно заявление, служебка и т. д. Но это все решается в рабочем порядке. А в вашем вопросе инициатива исходит от ОТиЗа. Как они напишут в штатном - так и будет.

Директор АХУЕ....

посмотрите, какая должность указана в штатном расписании, эту должность и указывайте в приказе и в трудовой.