почему когда мы выводим волновое уравнение в физике, мы используем вторую производну

Потому, что волна имеет ненулевую протяжённость в пространстве в отличие от материальной точки.

Рассмотрим произвольную функцию f (at-bx) (2.3) от аргумента аt-bх. Продифференцируем ее дважды по t:
(2.4) Здесь штрих означает дифференцирование по аргументу at-bx. Продифференцируем теперь нашу функцию дважды по х:
(2.5) Сравнивая (2.4) и (2.5), мы убеждаемся, что функция (2.3) удовлетво­ряет уравнению (2.6) где u=a/b.
Легко видеть, что этому же уравнению удовлетворяет произвольная функция
f (at+bx) (2.7) (2.7) аргумента at+bx, а также сумма функций вида (2.3) и (2.7).
Функции (2.3) и (2.7) изображают при положительных a, b пло­ские волны, распространяющиеся, не деформируясь, со скоростью и в сто­рону соответственно возрастающих или убывающих значений х **).
Уравнение (2.6)-дифференциальное уравнение в частных производ­ных, играющее в физике очень важную роль. Оно называется волновым уравнением. В математических курсах доказывается, что оно не имеет решений, отличных от тех, которые могут быть представлены функциями вида (2.3) и (2.7) или суперпозицией таких функций, например,
f1(at - bх) + f2(at+bx). Всякий раз, когда из физических соображений можно установить, что та или иная физическая величина s удовлетворяет уравнению вида (2.6а) мы сможем на основании сообщенных здесь математических сведений за­ключить, что процесс изменений этой величины носит характер плоской, волны, распространяющейся в ту или другую сторону со скоростью и, или суперпозиции таких волн. Вид функций f1, f2 опре­деляется характером движения источника волн, а также явлениями, происходящими на границе среды. Пусть источником волн является плоскость х=0, при­чем на этой плоскости величина S колеблется но закону s =Acoswt. В этом случае от плоскости х=0 распространяются вправо и влево волны
s= Acos (wt kx), k = . Из линейности волнового уравнения следует, что если ему удов­летворяют функции s1, s2,s3, …в отдельности, то ему удовлетворяет также функция S == S1 + S2 + S3 + … (принцип, суперпозиции).