Есть тут кто нибудь, кто был бы знаком с теорией фазового перехода, которую Капица применяет к демографическим

Капица тут при чём? Он излагает компиляцию известных положений.
"Фазовый переход", о котором вы упоминаете, - это термин из синергетики Хакена. Использование такого термина обусловлено тем, что при наличии внешнего воздействия открытые системы переходят в состояние, характеризующееся высокой степенью упорядоченности. Структуры там возникают. Классический пример - конвективные ячейки Бенара, турбулентные выихри (точнее, каскадная модель Ричардсона) . Капица пытается применить синергетический подход к с демографической точки зрения - аж к населению всей планеты. Абсурдность этого подхода в данный момент очевидна - мы не знаем, какие уравнения описывают динамику численности такой масштабной системы.
Что же касается странной точности, с которой гиперболический закон популяционной динамики описывает динамику населения планеты, тут есть вот какая "фишка". В действительности, население планеты не может стать бесконечно большим (а бесконечный рост численности заложен в самой модели гиперболического роста) - это понятно. Следовательно, обязательно должны включиться механизмы, ограничивающие этот рост. Какие это механизмы? Вот тут можно порассуждать, пофантазировать. Но в принципе, давно известно так называемое логистическое уравнение, которое как раз и описывает динамику популяции, ограниченной ресурсами, - уравнение Ферхюльста-Пирла.
Естественно, можно и нужно применять его для предсказания численности населения Земли. Осталось только выяснить факторы, те самые ограничения, которые выведут численность населения на некоторый постоянный (или колеблющийся возле постоянного) уровень.
В логистическом уравнении, кстати, принята модель бесполого размножения, а ограничение за счёт внешних ресурсов учитывается в виде межвидовой конкуренции. Понятно, что нужна более реальная модель - половое размножение (именно оно заложено в гиперболической модели) плюс торможение скорости роста за счёт - чего? Вот тут и включаются механизмы типа многочастичных взаимодействий в кинетике, а применительно к обществу - влияние растущего уровня жизни, увеличении продолжительности жизни, развитие коммуникаций (один человек может оказывать влияние на многих людей за счёт использования средств связи - "многочастичное" взаимодействие)...

К 2025 году численность населения Земли должна была бы стать… бесконечно большой. Но, согласно Капице, гиперболический рост численности населения Земли уже прекратился. Развитые и развивающиеся страны к 2100 году примерно сравняются по населению. Население мира выйдет на плато, стабилизируется на уровне 10–12 млрд. «Мы – на спаде кривой, на спаде демографического горба, – поясняет Капица. – Такие состояния хорошо известны и изучены. На языке физики они называются фазовыми переходами».