Чем отличается выражение I forgot от I have forgotten? Когда писать одно когда другое? В кратце на примере если можете.

I forgot - past simple, I have forgotten - presen perfect.
Present perfect употребляется, если действие совершено и есть результат в настоящем времени, если оно связано с настоящим. Past simple - просто прошедшее время, которое говорит о том, что действие совершено в прошлом.
Что касается конкретно глагола forget, то в большинстве случаев будет употребляться Present Perfect, т. к. как правило, если человек что-то забыл, это отражается на текущем моменте. Если честно, то я даже не могу придумать бытовую ситуацию, когда нужно было бы употреблять Past simpe с глаголом forget. Единственно, как правило, время past simple употребляется как основное в рассказах, романах и т. д. Т. е. когда ты просто рассказываешь что-то. И в этом случае глагол forget будет употребляться в past simple.

I have forgotten - в сложных предложениях или в определённой временной ситуации.

have, has V3
I have written the letter.
Я уже написал письмо (к настоящему моменту) .

have, has been V3
The letter has been written.
Это письмо уже написано (к настоящему моменту) .

Past

had V3
I had written the letter by five o’clock.
Я уже написал письмо к пяти часам.

had been V3
The letter had been written by five o’clock.
К пяти часам письмо уже написали.

Future
will, shall have V3

I shall have written the letter by five o’clock.
Я уже напишу письмо к пяти часам.

will, shall have been V3
The letter will have been written by five o’clock.
К пяти часам письмо уже будет написано.

во втором случае-когда действие было в прошлом, а результат есть в настоящем

present perfect. если речь идет о действии (забыл что-то сделать): I ‘VE FOGOTTEN TO RING HER UP. – Я ЗАБЫЛ ЕЙ ПОЗВОНИТЬ и past simple, если речь идет о факте ( забыл что-то) : IFORGOT HER NAME