почему после битвы на Куликовом поле, Русь продолжала платить ?

"...Одна дождинка - еще не дождь, еще не дождь,
Одна снежинка - еще не снег. " ))

Так вот, одна победа, даже такая значительная - это еще не свержение ига.
Если бы татары были какие-то пришлые налетчики - русские отбили нападение, разгромили врага и те ушли восвояси.. .
Но татары обитали здесь рядышком, под боком и их сила одним поражением была совсем не сломлена.

Хан Тохтамыш не считал, что Русь освободилась от Орды.
Он направил своих послов в разные русские княжества и напомнил князьям о прежней дани Орде.
Хан требовал, чтобы русские князья явились к нему в Сарай и признали себя вассалами хана. Рязанский и нижегородский князья (они были ближе всего к Орде) приняли условие ордынского хана.
Князь Дмитрий с этим согласиться не мог. Слишком уж кабальные были условия – выплачивать дань в размере, которая была до смуты в Орде. Кроме дани, от русских требовалось несение целого ряда повинностей.
Тохтамыш решил применить силу и в 1382 году взял Москву. На его стороне выступили тесть Дмитрия Донского нижегородский князь с сыновьями и рязанский князь.
Единство русских княжеств было нарушено. От Москвы отпали не только Рязань и Нижний Новгород, но и Тверь.
Воевать с Ордой не было сил. Поэтому оставалась только дипломатическая война.

Преемники Дмитрия Донского продолжали собирать земли, увеличивая и укрепляя Московское княжество.
Орда тем временем дряхлела.
Понадобилось 100 лет после Куликовской битвы, что бы перевес сил оказался на стороне Московского княжества.
И этот перевес был настолько очевиден, что его не пришлось доказывать оружием.

А почему после Бородино пришлось отдавать Москву?

По учебникам продолжала.... а для Вас лично - на Куликовом поле не было сражения, этого только учебник школьной истории не знает, а "драчка" была в другом месте.... да и монголов там и близко не было.

Это была победа, убедительная победа (если такое выражение существует) . Она ознаменовала как подтверждение роли Москвы, как центра (одного из центров) консолидации, объединения русских земель, так и окончание периода гражданских войн в Орде. Новый правитель (Тохтамыш) показал, что Орда ещё достаточно сильна. В случае поражения Москвы, освобождение всё равно бы произошло, но центры были бы иными - столицей Руси (основным центром объединения) стал бы Вильнюс, объединение его с Польшей стало бы ненужным (для него) . А столицей Украины (Окраины нового государства) стал бы Муром или Нижний Новгород (или, может быть Городец).

Монголо-татарское иго продолжалось ещё 100 лет, до 1480 г.

В реальной жизни результаты побед проявляются не после сражений, а после реализации тех преимуществ, которые эти сражения предоставили. Есть тактические победы, а есть стратегические.