Какой государственный язык был в Византии на момент ее падения?

В Византии и в Константинополе в частности говорили на византийском. Он же среднегреческий (промежуточный между древнегреческим и новогреческим) . Этот язык начал формироваться после захвата римлянами Эллады, которая по-латыни и звалась Грецией. Греки после этого стали звать себя ромеями. А балканскую Грецию (Элладу) Ромеей.

Все не так просто - не было единого языка в Византийской империи, причем, прямо в столице, а не только в регионах (в лучшие времена) .

На самом деле в Византии существовала диглоссия - особый вариант билингвизма, при котором на определённой территории или в обществе сосуществуют два языка или две формы одного языка, применяемые их носителями в различных функциональных сферах.
В Византии это выражалось в разрыве между литературно-письменным и разговорным греческим языком
Первоначально разница была не очень велика, но законсервированость литературного языка, тщательное избегание всего простонародного, привели к тому, что носители литературного и простонародного вариантов среднегреческого (византийского) языка стали плохо понимать друг друга.

Государственным языком был, разумеется, литературный византийский язык, а большая часть населения разговаривала на простонародном варианте среднегреческого языка.

Кроме того, когда Византия владела более обширными территориями, чем в 1453 г. в регионах сформировались свои диалекты - цаконский, понтийский, каппадокийский и др.
В условиях почти поголовной безграмотности, непонятности и труднодоступности образования на архаичном литературном языке, постоянной иностранной интервенции после 1204 года, многие греческие крестьяне лучше владеют иностранными языками, чем собственным литературным языком.
В поздневизантийский период роли лингва-франка побережья исполняют французский язык и итальянский язык.

После восстановления независимости в 1828—1830-х годах Греция унаследовала византийскую лингвистическую систему в ещё более утрированном варианте: димотика — разговорный язык продолжал противостоять кафаревусе (письменно-литературному языку) до реформы 1976 года, когда эти два варианта были сближены, с преобладанием димотики.

На греческом