Почему мы называем империю Османской, а англоговорящие Ottoman?

потому же что и Россия - "Рашшиа"
а Венгрия вообще - Magyarország, Hungary и даже Угорщчина
---
Это одно и то же слово, адаптированное через разные языки. В общем, было арабское имя Uthman, в турецкий оно попало как Osman (Османская империя - это империя султана по имени Осман), а в Европе закрепилось через свой вариант на латыни - Ottomanus. Соответственно, там, где было велико культурное влияние Европы, появились и стали традиционными в той или иной степени всякие разные "тт" - и империя Оттоманская, и турки - оттоманы, и турецкий диван - оттоманка.

Ну, это же не единственный пример разного произношения географических названий на разных языках. Возьмите хотя бы русское произношение известных европейских городов и их звучание в родных языках Париж - Пари, Рим - Рома, Флоренция - Фиренсе, Марсель - Марсей и так далее.
Если сюда привлечь еще и английское произношение тех же названий, будет вааще.

Империя была названа по имени основателя Othman. Как видим, вторым звуком имени идёт шепелявый звук "th". Англичане предпочли превратить его в "t" и говорят "Отэмэн". А русские выбрали более сложный вариант и превратили в "с" - "Османская"

https://www.etymonline.com/word/ottoman

Мне проще сказать:2 билета в Турцию

Потому что Ottoman переводится как "человек-выдра"

Похожая история с чаем. В большом количестве европейских стран название напитка схоже - "Ти" в английском, "Те" во французском и испанском и так далее. А в португальском звучит - "Ща", что, согласитесь, очень близко к русскому "Чай". Потому что в одни страны пришло из южнокитайского, в другие - из севернокитайского.
Если интересно, прогуглите, например, почему слова "Бык" и "Пчела" - однокоренные.

Осман - от имени правителя вроде. А Ottoman - так назвали народ. Даже в русском есть слово атаман