Как доехать из Москвы до Рогачева (Белоруссия) в первые дни января с минимальными затратами?

За сгущёнкой? Да, лучше поездом в плацкарте до Гомеля или Могилева, а там близко. От Бобруйска надо будет немного возвращаться в обратную сторону.

автобусом

Автобус от Щёлковского автовокзала:
18:35 (Москва - Светлогорск) - кроме вт. и вс.
21:30 (Москва - Бобруйск)

Проезд 1141-1144 рубля.

С местами на начало января проблем вроде бы нет.

Если не хотите ехать ночь в автобусе - в тот же 55-й поезд до Могилёва. Плацкарт есть на 4-5 января. В Могилёве, правда, придётся 3 часа ждать пригородного дизеля. Автобусов там нет.

раз время вас не лимитирует, предложу зайцем на товарняке

На первые дни января?. .
А вот прямо 1-го и выезжаем:

Поездом № 063Б Новосиб-Минск 01:45 (Москва) - 07:52 (Смоленск) 607 руб. плацкарт с бельем
Оттуда согласованными электричками с пересадкой по ст. Красное

6191 Смоленск — Красное 09:04 - 10:34 99 р.
6183 Красное — Орша 11:03 - 10:59 (время минское) 66 р.

Далее поездом 642Б ОРША - ГОМЕЛЬ 12:25- 16:21 (Рогачев) 31 800 бел руб. (110 руб. ) плацкарт с бельем (34 200 при покупке он-лайн) .

И того 890 руб, около 16 часов в пути.

Не хотим ехать 1-го?. .

ОК, едем 2-го:
Поездом № 223 Москва - Брест 11:18 - 17:01 (Смоленск) 642 руб. плацкарт с бельем
Далее также согласованными электричками:

Смоленск — Красное 17:54 - 19:16
Красное - Орша-Центр. 19:32 - 19:29 (время минское)
Оттуда поездом 601Б ПОЛОЦК - ГОМЕЛЬ 23:03 - 03:35 20 300 бел. руб. (70 руб.) общий вагон.

Автостопом дешевле не бывает.