У меня вот такая есть бегония:

Возможно у вашей бегонии мучнистая роса. Она поражает все наземные части расtения. Вначале на листьях появляются отдельные оkруглые пятна, покрытые белым налетом. Сливаясь, они образуют мучнистый налет, который покрывает всю поверхность листьев. Потом листья буреют, становятся хрупкими и засыхаюt. В таком случе растение можо опрыснуть медно-мыльной жидкостью. (для приготовления 2 г медного купороса и 20 г зеленого или дегтярного мыла растворяют в 1 л воды) . Обычно мучнистой росой бегония заболевает осенью и зимой из-за повышенной влажности. Поэтому нужно почаще проветривать помещение, в котором растёт бегония и обязательно обеспечить ей много света.
А возможно это тля (хотя она обычно атакует растение весной и летом) . В таком случае растение следует немедленно обработать трихлорметафосом-3 (в любом специализированном магазине для растений знают что это такое) . Медлить с лечение нельзя, иначе эти паразиты могут напасть на другие растения. Можно также опудривать растения размолотыми в тонкий порошок отходами табака (в чистом виде или в смеси с золой или гашеной известью, 1:1).
Ещё можно попробывать поставить рядом с больным растением душистую герань! Если это тля, то вероятнее всего она исчезнет :)