Что можно сделать, чтобы задержать ребенка в саду до 7 лет?

Если установлено, что ребенок не готов к школе, в том числе – не достиг уровня психофизического развития, необходимого для успешного освоения основных общеобразовательных программ начального общего образования, специалисты, работающие (консультирующие) с ребенком, могут рекомендовать увеличить срок дошкольного образования до достижения ребенком уровня готовности к школе.

На уровне законодательства не определен порядок продления договора, заключенного между дошкольным образовательным учреждением и законными представителями ребенка, посещающего данное учреждение, на следующий учебный год после достижения ребенком 7-летнего возраста в случае необходимости увеличения срока дошкольного образования. В этом случае следует руководствоваться приведенными ниже нормативными актами.
До внесения соответствующих дополнений в устав может быть применена аналогия закона. В соответствии со статьей 19 Закона РФ «Об образовании» по разрешению учредителя образовательного учреждения возможно обучение детей до достижения ими возраста шести лет шести месяцев в образовательных учреждениях, реализующих программы начального общего образования. Таким образом, применяя аналогию закона, продление договора о дошкольном образовании после достижения ребенком 7 лет возможно по разрешению учредителя дошкольного образовательного учреждения.

Основаниями для продления договора могут быть заключения специалистов (как медицинского, так и психолого-педагогического профиля) с рекомендациями о продолжении дошкольного образования или заключение психолого-медико-педагогической комиссии
.
Прочитайте всю ссылку:
https://www.osoboedetstvo.ru/advice/detsadovskiy-vozrast

"задержать ребенка дома на индивид обучении не имеем права"
С чего вдруг? За ваши деньги - любой каприз, хоть все 11 классов можете дома его держать (главное чтобы программу вовремя сдавал)

Вы родительский договор подписывали. Что там прописано?

У нас родители имеют право написать заявление, что ребенок остаётся в детском саду, иногда так и делают и обычно это тоже связано с логопедией.