Повторное взыскание за похожий проступок?!

1)уволить по п. 5 ч. 1 ст. 81 ТК РФ пока ещё нельзя - нет состава правонарушения
2)могут дать выговор или ещё одно замечание
3)вот если в течение 1 года будет третье нарушение (не важно, такое же или другое) - тогда могут и уволить по п. 5 ч. 1 ст. 81 ТК РФ

Не могут наказать дважды за одно и то же опоздание. Но за другое опоздание могут. Это уже другой проступок..

В зависимости от уважительности причин опоздания. Если просто разгильдяйство, то могут уволить.

В описываемом вами случае проступки разные, т. к. опоздания были в разное время и за каждое опоздание можно применяте одну из мер дисциплинарного взыскания (замечание, выговор или увольнение) .

Нарушение было бы, если бы за одно опоздание применили сразу и выговор и увольнение.

могут и уволить п. 5 ст. 81 ТК РФ

Работодатель вправе:
1. Уволить по п. 5 ч. 1 ст. 81 ТК РФ (выписка прилагается) , так как неоднократное неисполнение работником без уважительных причин трудовых обязанностей, т. к. он имеет дисциплинарное взыскание (год не прошел с даты нарушения) .
2. Дать выговор или ещё одно замечание.

Статья 81. Расторжение трудового договора по инициативе работодателя
Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:
...
5) неоднократного неисполнения работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание;

1 дисциплинарное взыскание за каждый эпизод - 1 раз опоздали 1 косяк. получили предупреждение. 2 раз 2 косяк 2 дисциплинарное взыскание. Уволить могут без зазрения.