могут ли не предоставить очередной отпуск, мотивируя тем что я пишу заявление за 5 дней, утверждают что я должен...

Работодатель не прав. Следует иметь в виду, что согласно ст. 123 Трудового кодекса РФ очередность предоставления ежегодных отпусков определяется ежегодно в соответствии с графиком отпусков, утверждаемым работодателем не позднее чем за две недели до наступления календарного года.
График отпусков обязателен как для работодателя, так и для работника. При этом на основании ч. 3 ст. 123 ТК РФ работник должен быть извещен о времени начала отпуска не позднее чем за 2 недели до его начала.
Приказ (распоряжение) о предоставлении отпуска работникам издаются на основании графика отпусков. Приказ является основанием для расчета заработной платы, причитающейся за отпуск.
В случае предоставления работнику отпуска, который не соответствует графику отпусков, работник должен написать заявление с просьбой о предоставлении отпуска.

Предупреждение работника о начале отпуска не менее чем за две недели это обязанность работодателя, а не работника. И для контролирующих органов совсем не важно за сколько дней Вы написали заявление, а предупреждение должно быть за две недели, и оплата за три дня до начала. Хотя позиция работодателя в данном случае непонятна поскольку он допустил уже серьезное нарушение не составив график отпусков, так какая ему разница в данном случае. Отпуск это ваше конституционное право на отдых, которым в данном случае Вы можете воспользоваться, а вот все остальное это проблемы работодателя он обязан обеспечить Вам это право.

Ваше руководство неграмотно в кадровых вопросах. У фирмы должен быть составлен график отпусков не позднее, чем за две недели до начала календарного года и вы должны быть с ним ознакомлены. Если графика нет, то и требование о предупреждении незаконно!!!!