Законны ли требования администрации?

Конечно, незаконно. Работник имеет право уволиться по собственному желанию в любое время, предупредив работодателя за 2 недели до предполагаемой даты увольнения (ст. 80 ТК РФ) , а работодатель не в праве отказать, так как принудительный труд запрещен Конституцией РФ. работодатель обя­зан возместить работнику.
В соответствии со ст. 169 ТК РФ, расходы по переезду работника, членов его семьи и провозу имущества оплачивает работодатель. При увольнении у него нет права взыскивать сумму компенсации за понесенные расходы работником. В ст 137 ТК РФ дан исчерпывающий перечень удержаний на которые работодатель имеет право. Обращайтесь за защитой своих прав в суд. 100% выиграете дело. Судебные издержки при трудовых спорах также несет работодатель (393 ТК РФ).

Отвечавши на ваши вопросы, родивши такой ответ: заявкой на увольнение называется заявление об увольнении по собственному желанию. Никаких компенсаций вы имеете право не возвращавши, так эти компенсации были положены вам по закону, а не из кармана админиСРации. Поэтому пошливши их всех на определенные буквицы, ткнувши им ТК РФ. У них имевши только 2 недели после вашей заявы на увольнение, в течение которых в обязаны работавши, а по истечение 2 недель вы обязаны быть уволившись и получивши полный расчет.

1) В соглашении к трудовому договору, которое Вы должны были подписывать при изменении существенных условий договора, могут быть внесены особые условия прекращения трудовых отношений и ответственность за их не исполнение (уточните по документам)
2) если Вам был дан письменный отказ от расторжения трудового договора, что мало вероятно, это, скорее всего, не правомерно, но тем не менее прочитайте основания отказа
3) Проще всего отправить заявление об увольнении по почте заказным письмом с уведомлением о доставке, где обязательно указать: "Трудовую книжку прошу отправить мне по почте в указанный адрес"
ЕСЛИ ВЫ являетесь материально ответственным лицом ситуация несколько меняется и надежнее проконсультироваться с юристом в Вашем городе, либо можете подробно описать проблему по электронке, обязательно посмотрю