Как официально трудоустроить гражданина РФ, если у него нет прописки и регистрации (он зарегестрирован в Молдове)

Если он уже гражданин, то никаких проблем нет, только требования нижеследующей статьи:
Статья 65. Документы, предъявляемые при заключении трудового договора
При заключении трудового договора лицо, поступающее на работу, предъявляет работодателю:
паспорт или иной документ, удостоверяющий личность;
трудовую книжку, за исключением случаев, когда трудовой договор заключается впервые или работник поступает на работу на условиях совместительства;
страховое свидетельство государственного пенсионного страхования;
документы воинского учета - для военнообязанных и лиц, подлежащих призыву на военную службу;
документ об образовании, о квалификации или наличии специальных знаний - при поступлении на работу, требующую специальных знаний или специальной подготовки;
справку о наличии (отсутствии) судимости и (или) факта уголовного преследования

у гражданина РФ должен быть общегражданский паспорт
при устройстве на работу прописка не нужна
миграционный учет - для иностранцев

Он должен встать на учет и затем устроится на работу.

ФЗ «О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах РФ» каждому гражданину РФ гарантировано право на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации
ст. 3 ТК РФ установлен запрет на дискриминацию в сфере труда. Никто не может быть ограничен в трудовых правах и свободах или получать какие-либо преимущества независимо от места жительства и иных демографических и социальных признаков.
ст. 64 ТК РФ - запрещается необоснованный отказ в заключении трудового договора.
Из вышесказанного вытекает, что в случае отказа работодателя в приеме на работу ГРАЖДАНИНА РФ, только на основании отсутствия регистрации по месту жительства противоречит законодательству и может быть оспорен в суде