До какого возраста человек может работать руководителем бюджетного учреждения, подразделения этого заведения ?

Смотря о каких бюджетных учреждениях идет речь. В государственных и муниципальных высших учебных заведениях должности ректоров, проректоров, руководителей филиалов (институтов) могут замещаться лицами в возрасте не старше 65 лет независимо от времени заключения трудовых договоров. Лица, занимающие указанные должности и достигшие 65 лет, переводятся с их письменного согласия на иные должности, соответствующие их квалификации (ч. 12 ст. 332 ТК РФ). Предельный возраст установлен так же для замещения должностей гражданской службы.

ограничения есть только в госслужбе, а в муниципальных организациях - нет

Само по себе то обстоятельство, что работник достиг пенсионного возраста, не может являться основанием для его увольнения в первую очередь при сокращении численности или штата.
Как при увольнении в связи с сокращением численности или штата, так и при увольнении по соглашению сторон работнику, достигшему пенсионного возраста, производятся выплаты, предусмотренные трудовым законодательством, без каких-либо изъятий и особенностей, а также выплаты, предусмотренные коллективным договором и соглашением между работником и работодателем.
Достижение пенсионного возраста не является в соответствии с ТК РФ основанием для увольнения работника. Кроме того, ст. 1 Конвенции Международной Организации Труда (МОТ) от 1958 года N 111 "О дискриминации в области труда и занятий" (ратифицирована СССР в 1961 году) и ст. 3 ТК РФ запрещают дискриминацию работника по признаку возраста. Поэтому работника, достигшего пенсионного возраста, можно уволить лишь на общих основаниях, предусмотренных для всех работников ст. 77 ТК РФ. Увольнение работника по инициативе работодателя осуществляется в случаях, указанных в ст. 81 ТК РФ