Я работаю в бюджетной сфере. Может ли директор заставить меня работать в выходной день?

В соответствии с ст. 113 ТК РФ привлечение работников к работе в выходные и нерабочие праздничные дни производится с их письменного согласия в случае необходимости выполнения заранее непредвиденных работ, от срочного выполнения которых зависит в дальнейшем нормальная работа организации в целом или ее отдельных структурных подразделений, индивидуального предпринимателя.
Привлечение работников к работе в выходные и нерабочие праздничные дни без их согласия допускается в следующих случаях:
1) для предотвращения катастрофы, производственной аварии либо устранения последствий катастрофы, производственной аварии или стихийного бедствия;
2) для предотвращения несчастных случаев, уничтожения или порчи имущества работодателя, государственного или муниципального имущества;
3) для выполнения работ, необходимость которых обусловлена введением чрезвычайного или военного положения, а также неотложных работ в условиях чрезвычайных обстоятельств, то есть в случае бедствия или угрозы бедствия (пожары, наводнения, голод, землетрясения, эпидемии или эпизоотии) и в иных случаях, ставящих под угрозу жизнь или нормальные жизненные условия всего населения или его части.
В других случаях привлечение к работе в выходные и нерабочие праздничные дни допускается с письменного согласия работника и с учетом мнения выборного органа первичной профсоюзной организации.

Конечно может, на основании приказа, распоряжения 120 часов в год. Сверх установленных 40 часов в неделю.

Да, в соответствии приказом директора учреждения Вас могут обязать работать сверхурочно. Вы должны были быть предупреждены об этом при приеме на работу. Так же в случае, если для вашего учреждения установлен ненормированный рабочий день. Обычно, сверхурочную работу предлагают с условиями, на которых вам будет зачтено время сверхурочной работы: либо за деньги, либо за отгул. В случае, если предложение поработать в выходные поступает устно, то, в принципе, можно отказаться, но если вам дорого Ваше рабочее место, то не советую. Удачи.)