Имеет ли право системный администратор проверять личную переписку

Работник должен быть предупрежден, и тогда контроль будет законным.
Методы наблюдения должны быть закреплены в правилах внутреннего трудового распорядка, с которыми в обязательном порядке должны быть ознакомлены все работники. Что касается допустимых границ контроля, то, на мой взгляд, работодатель как минимум имеет право знать, какие сайты сотрудники посещают в Интернете и сколько времени они тратят на личные разговоры по телефону.

Считаю, что, обращаясь в суд, можно сослаться на статьи 23 и 24 Конституции, которые гарантируют гражданину сохранение тайны переписки и иных сообщений (ими можно считать электронные письма) , а также запрещают сбор информации о жизни частного лица без его согласия. Кроме того, право на тайну электронной переписки гарантирует статья 63 Федерального закона о связи от 07.07.03 № 126-ФЗ.
А статья 11 Федерального закона об информации, информатизации и защите информации от 20.02.95 № 24-ФЗ запрещает сбор информации, нарушающей тайну переписки, иных сообщений и телефонных переговоров.

просто это невоспитан читать и передавать админ, ну если этот системн имеет больое влияние на начал, его могут и пслушаться, соответсв прин меры против вас, вы же не имеете право заним личн делами во врем раб, но я счит это низость ваш админ

Ему это не запрещено, а вот пользование служебным интернетом в личных целях в рабочее время - вопрос на рассмотрение администрации.
Ну и еще есть такое понятие совесть! Она должна быть и у тех и у других.

Нет не имеет

Нет, это нарушение тайны переписки, хотя может в уставе фирмы это прописано, тогда все по правилам