как правильно написать заявление в суд о взыскании заработной платы без трудового договора?

Думаю, что для начала Вам надо подать иск на признание отношений между Вами и Вашим работодателем трудовыми ( ст. 16 ТК РФ) со всеми вытекающими из этого последствий

Требования к исковым заявлениям можно найти в статьях 131, 132 ГПК РФ

Мотивирочную часть пишите исходя из доказательств которые имеются.
в просительной части примерно так:

Прошу:

Признать фактом трудовых отношений между ___ и ___ за период с такого то и по такое то;
Взыскать ну сколько должны

Если у Вас нет никаких письменных подтверждений, что Вы работали в данной организации, то Ваши шансы взыскать зарплату через суд или другие правовые организации практически равны нулю.
Если Вам удастся привлечь в качестве свидетелей сотрудников организации, которые подтвердят в суде, что Вы работали от звонка до звонка, добросовестно выполняли свои трудовые обязанности, то может быть Вам помогут их показания для принятия судом положительного решения в Вашу пользу. Можно попробовать привлечь их самостоятельно, а можно в иске ходатайствовать о вызове их суд в качестве свидетелей.

Если необходимые документальные подтверждения о работе в данной организации у Вас всё-таки имеются (копии приказов, заверенные работодателем; банковские перечисления Вам зарплаты и т. п. ) или Вы уверены в наличии свидетелей, которые смогут дать показания в Вашу пользу, то описываете в иске период, где, кем работали, причину незаключения с Вами ТД, а также какими документами, с помощью каких свидетелей можно подтвердить Вашу работу. И просите взыскать с РД причитающуюся Вам зарплату за такой-то период работы в таком-то размере.

А были ли заявление о приёме на работу, завизированное руководителями организации, приказ о приёме на работу и что с трудовой книжкой?

придите в прокуратуру и там вам помогут, еще и сами напишут))

в исковом должно быть 2 требования: 1. установить факт нахождения в трудовых отношениях с работодателем, 2. взыскать с работодателя все что вам причитается. не установите факт-ничего не получится. для установления понадобятся свидетели, желательно сотрудники этого же работодателя.