могут ли мне отказать в выдаче копии больничного?

Пишите заявление работодателю, указывайте, копии каких конкретно документов вам нужны, отказать вам в предоставлении копий документов права не имеют и объяснять, зачем вам эти документы нужны вы не обязаны. А если откажут, значит жалуйтесь в трудовую инспекцию на нарушение работодателем ТК РФ
Ст. 62 ТК РФ
По письменному заявлению работника работодатель обязан не позднее трех рабочих дней со дня подачи этого заявления выдать работнику трудовую книжку в целях его обязательного социального страхования (обеспечения), копии документов, связанных с работой (копии приказа о приеме на работу, приказов о переводах на другую работу, приказа об увольнении с работы; выписки из трудовой книжки; справки о заработной плате, о начисленных и фактически уплаченных страховых взносах на обязательное пенсионное страхование, о периоде работы у данного работодателя и другое). Копии документов, связанных с работой, должны быть заверены надлежащим образом и предоставляться работнику безвозмездно.

если не говорить, зачем они вам, никто их не даст. С недавнего больничного-то копию снять - пролема. А с давнишних - тем более. Вот будет запрос из суда или милиции - тогда другое дело, пусть только попробуют отказать.

Могут и не дать. Тогда придется соответствующее ходатайство заявлять суду и истребовать уже в суд. порядке.

Не говорите куда - могут и не дать... но обычно с этим проблем нет.

В любом случае, вы имеете право заявить ходатайство в порядке ст. 57 ГПК РФ и получить копии из больницы.