Лингвисты есть? Нужно мнение человека, отлично знающего стилистику русского языка!

ОХОТИТЬСЯ
1.
Заниматься поисками, выслеживанием зверя, птицы с целью убить или поймать. О. на медведя, на птицу, зверя. О. на боровую дичь.
2.
Заниматься поисками, преследованием кого-, чего-л. с целью поймать или уничтожить. О. за главарём банды. О. за разведчиком. О. за подводными лодками.
Стараться раздобыть, получить что-л. О. за редкой книгой.

В том слукчае, когда имеется в виду ПОИСК чего-то (охотиться за дефицитом) , можно использовать предло "за".

ОХОТА 1, ы, ж.

1. на кого (что) или за кем. Поиски, выслеживание зверей, птиц с целью умерщвления (на кого) или ловли (за кем) . О. на медведя. О. за перепелами. Промысловая о. Волк вышел на охоту. О. с фоторужьём (фотографирование животных в естественных условиях) . На охоту ехать собак кормить (посл. о запоздалых и спешных приготовлениях, сборах) . О. за вражеским снайпером (перен.) .

2. Совокупность людей и обзаведения, необходимого для таких поисков. Держать соколиную, псовую охоту.

3. Занятие ловлей, содержанием и разведением животных (спец.) . Голубиная о.

• Тихая охота собирание грибов.

| прил. охотный, ая, ое (устар. и спец.) . Охотная собака. Охотные места (подходящие для охоты) . О. инспектор (охотинспектор) . О. ряд (старое название торгового ряда, где продавали дичь, мясо) .

ОХОТА 2, ы, ж.

1. к чему или с неопр. Желание, стремление. О. к чтению (читать) . О. к перемене мест. О. пуще неволи (посл.) .

2. в знач. сказ. , кому, с неопр. Есть желание, хочется (разг.) . Пить о. И о. тебе спорить с ним? (зачем ты споришь с ним?) .

• Охота была! (разг. ) не нужно, незачем. Охота была стараться!

Несколько не правильно, но часто употребляют...

который час идет охота на зайца;
который час идет охота за зайцем (волком) - плохой стиль - это даже на слух противно.

пример с "за":
вести охоту за свободу - надуманно, но звучит неплохо;
начать охоту за теми двумя.

поэтому надо рассматривать конкретный случай - по-разному пытаться выстроить предложение.