Диктор на радио выражается правильно?

Географическое наименование, употребленное с родовыми наименованиями город, село, деревня, хутор, река и т. п. , выступающее в функции приложения, согласуется с определяемым словом, то есть склоняется, если топоним русского, славянского происхождения или представляет собой давно заимствованное и освоенное наименование. Правильно: в городе Москве, в г. Санкт-Петербурге, в городе Владивостоке.

Иноязычные названия, оканчивающиеся на согласный, обычно не склоняются в функции приложения: в городе Вашингтон.

Обычай не склонять географические названия укоренился в профессиональной речи военных и топографов и под влиянием этого профессионально-терминологического языка широко распространился в современной речи, однако нормой его считать нельзя.

По правилам русского языка названия городов (как и другие географические названия) , если мы называем их после общего наименования (село, город, река...) , являюстя приложением, а значит - согласуются.
То есть, правильно говорить: в городе ИжевскЕ, у реки НевЫ
Не склоняются названия, которые изначально стоят во множественном числе (по учебнику помню - был пример Великие Луки :)) другого мне и не придумать так сразу) - это и так понятно, пожалуй, и, что более важно, если общее наименование одного рода, а само название - другого (кроме городов!) : На реке ЕнисЕЙ (а НЕ на реке ЕнисЕЕ) .
По поводу иностранных названий - речь отдельно идёт.

считаю, что нет! но учителя в школе тоже используют эту систему, наверное тоже в замешательстве: как бы не ошибиться!