Верно ли утверждение? В словах (белый, бедный, бегать) на месте буквы "е" до Революции писалась буква "ять"?

Да, верно во всех трех словах. Один из способов проверки - сравнение с польским языком. Если по-польски пишется ia (bialy, l перечеркнута) , то по-русски в старой орфографии - ять. Если же по-польски e, то и по русски обычное е (есть).

бЪгати, . бЪда, . бЪлъ. Так эти слова звучали на старославянском. буква ять обозначала звук -йе-. В современном русском языке, в связи с слиянием по звучанию буквы е, и буквы ять, последняя была упразднена. Именно по этому, мы сразу на слух не можем определить, где должна быть буква е, а где ять .

Что за дела, на ответах перестали буквы кириллицы отображаться !!!Еще недавно на такой же вопрос отвечал, все нормально было !!!Вместо ять Ъ напишу, что бы понятно было !!!

про"белый"не знаю, но 2 других-точно 100%(даже стишок для заучивания этого правила древние гимназисты применяли, была фраза в нём:
" Убежал бедняга в лес")

Бp3;лый, блp3;дный, бp3;дный бp3;съ
Убp3;жалъ голодный въ лp3;съ.
Лp3;шимъ по лp3;су онъ бp3;галъ,
Рp3;дькой съ хрp3;номъ пообp3;далъ
И за горький тотъ обp3;дъ
Далъ обp3;тъ надp3;лать бp3;дъ.

Утверждение верно. Все эти 3 слова писались с ятем. Стишок-запоминалка как раз начинался с этих слов:

Почему-то ять перестал тут проходить, пришлось картинку вставлять.
А проверять написание ятя, сравнивая с польским или украинским языком.. . Так для этого надо знать эти языки)))

Есть более простой способ проверки. Поскольку простое "Е" в русском под ударением перешло в "Ё", а ять к тому времени ещё различался и не перешёл в "Ё", то, в принципе, все нынешние ударные Е должны были писаться через ять. Хотя тут есть исключения в силу различных исторических причин и ошибок, возведённых позже в правило.